一、罗素悖论

1、不可判定命题，尽管有些让人不舒服，但不足以构成一个悖论，从而完全毁掉一个逻辑系统。

2、在19世纪末至20世纪初，逻辑和数学的基础受到许多困难(所谓的悖论)的发现的影响，特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，尤其是罗素悖论，以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。

3、从现实空间分析“所有集合的集合”可得出，“所有集合的集合”必须依据“所有集合”的存在而存在，“所有集合”产生的时间在前，“所有集合的集合”产生的时间在后。在统计“所有集合”时，被统计到的集合只能是当时已经存在的集合，统计不到当时不存在的集合，“所有集合”被统计完成后才能产生“所有集合的集合”。“的集合”中的“集合”与“所有集合”中的“集合”同名不同时，“的集合”中的“集合”不是之前那个“所有集合”之内的集合。

4、很自然，本身作为一个集合，“所有集合的集合”必须包括其自身，作为一个元素。

5、对于他来说，似乎人、物体、天空还都存在，自身的运动、身体感觉都可以输入。这个脑还可以被输入或截取记忆(截取掉大脑手术的记忆，然后输入他可能经历的各种环境、日常生活)。他甚至可以被输入代码，“感觉”到他自己正在这里阅读一段有趣而荒唐的文字。

6、这一矛盾被称为“外祖母悖论”，也叫“祖父悖论”。

7、如果苯酚们去问一个数学家罗素悖论是什么，他们会甩过来两行字：

8、根据我们的直觉，“集合”应该是“事物的聚集”(acollectionofthings)，而朴素集合论，基本上就把这一直觉，当作了“集合”的定义。

9、所集合2类第类集合其自身元素第二类集合自身元素假令第类集合所组集合P第二类所组集合Q于：P={A∣A∈A}Q头既率日晶是烈={A∣A￠A}(￠：属于)问Q∈(包含于意思)PQ∈Q著名罗素悖论罗素悖论通俗版本理发师悖论.理发师悖论意：某城市位理发师广告词写：本理发技艺十高超誉满全城我本城所给自刮脸刮脸我给进些刮脸我各位表示热诚欢迎找刮脸络绎绝自都些给自刮脸位理发师镜看见自胡本能抓起剃刀看能能给自刮脸呢给自360问答刮脸属于给自刮脸要给自刮脸给自刮脸呢属于给自刮脸该给自刮脸其版本两种名容易理解

10、书目悖论：一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书，那么它列不列出自己的书名？

11、那么，如何解决罗素悖论呢？很简单，对于“R是否属于R”此无定义处进行重新定义，属于不属于都可以，或者说此处没有意义也可以，看哪种定义比较适用。数学家构造的理论出现矛盾了，就像人们讲话出现了矛盾了一样，解决的方法很简单：“对不起，我没有注意到这里有矛盾，我重新说明一下，此处应该是如此如此……”

12、ZF公理体系”并没有彻底解决罗素悖论问题，也没有否定罗素悖论，而是设置一个公理，让那些产生“自我指涉”问题的集合排除在集合的范围，从而避开悖论的出现。从这以后，集合论也从朴素的集合论发展到了公理的集合论。

13、当然，这只是罗素悖论的通俗说法。罗素悖论是关于数学中集合论的一个矛盾而提出的。

14、德国逻辑学家弗雷格(Frege)曾在自己的著作中写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成的时候却发现所干的工作的基础都崩溃了。”作为逻辑结构，数学已经处于一种悲惨的境地，数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时代。(Kline,1972)

15、如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人。但是，招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此，他应该自己理。由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的。

16、没错，还是那个伯特兰·罗素。

17、打破20世纪初闭塞科学观的著名科学家

18、“也是不动的，老师”

19、理发师突然发现自己非常尴尬。因为他如果回答给自己刮胡子，他就是第一类人，按照他的规矩就不应该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就是第二类人，按照规矩他又应该给自己刮胡子。

20、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，而且很快渗透到大部分数学分支，并成为它们的基础。但到了19世纪末，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素悖论的提出，使数学的基础动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。

二、罗素悖论解决了吗

1、1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”：有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

2、“披萨”这个词也不是自然数，所以它是集合成员。

3、康托尔作为最伟大的数学家之会永远被人类铭记。

4、因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。

5、讨论罗素悖论产生的原因时一种观点认为，集合论中没有时间、没有先后，数学可以不存在于现实空间，罗素悖论可以存在。另一种观点认为所有思维过程都在现实空间进行，“所有集合的集合”也是在现实空间产生。事件在现实空间的属性是事件的全部属性。如果“所有集合的集合”存在于现实空间，那么罗素悖论不是悖论。

6、因此，“我说的这句话是假的”这句话无解。

7、这个集合将会包括相当多的东西：

8、——布特鲁(PierreBoutroux)

9、他们对于“集合”的定义非常不精确。

10、芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？”

11、从前有一个村子，村子里只有一名理发师。这个理发师有点怪，他的理发店门口立了一个牌子，上面写着：我给且只给自己不刮胡子的人刮胡子。

12、理发师悖论可以表达成集合论的形式，就是罗素悖论。R={x|x不属于x}，然后现在问R是否属于R。如果R不属于R，那么根据定义，R属于R；如果R属于R，那么根据定义，R不属于R。

13、一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。

14、(其实集合内的元素并不一定要是数字，比如A={吉拉，♥，木头}，A也是一个集合，只不过在这篇文章里主要探讨数的集合。)

15、因此，在研究关于线段的几何学中，我们分析在一个平面中，所有线段之集合的属性。而这个集合的构成元素(即，线段)，它们本身也是集合。

16、这个悖论，以及产生自“自含集合”(setsthatcontainthemselvesasmembers)，和产生自巨大的、不充分定义的“所有事物”之集合的其他难题，使得我们必须重新审视“集合”这个概念：它要更加正式，并且基于公理。

17、由此那位智者导出“上帝不是万能的”。

18、可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？

19、罗素悖论是由罗素发现的一个集合论悖论，其基本思想是：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S即S1={x:x∉x}。

20、“理发师悖论”是很容易解决的，解决的办法之一就是修正理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外；可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了。

三、罗素悖论理发师

1、经常被用来表示集合论的文氏图(VennDiagram)

2、我们遇到了一个矛盾：“所有‘不’自含集合的集合”，同时必须既“是”又“不是”自己的一个成员。

3、如果集合A是自己的一个元素，那么集合A就不满足“不包括自己的集合”的定义，不应该出现在此集合中，矛盾；

4、罗素悖论的意思是由罗素发现的一个集合论悖论，其基本思想是：对于任意一个集合A，A要么是自身的元素。

5、但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。

6、“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”

7、二十世纪初，数学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中。法国大数学家彭加莱在1900年的国际数学家大会上公开宣称：数学的严格性，现在看来可以说是实现了。他说这句话是有依据的，那就是德国数学家康托尔所创立的集合论。

8、如果教廷回答说能的，那上帝不能搬动他创造的那块石头，所以上帝不是万能的；如果教廷回答说不能，那么上帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上帝也不是无所不能的。

9、但是从整体上来看，康托尔的工作解决了很多长久未解决的问题，在分析学、拓扑学中起到了重要作用，并且集合论渗透到越来越多的数学领域，成为数学基础理论不可分割的一部分。

10、所以，如果B包括其自身，那么它就与我们用来定义B的条件矛盾了，所以B不包括其自身。

11、理发师悖论：萨维尔村里有个理发匠，他给自己立了一条店规：他只给村子里自己不刮脸的人刮脸。

12、理发师悖论和书目悖论是很容易解决的，解决的办法之一就是修正理发师/词典的规矩，将他自己排除在规矩之外；可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了。

13、毕达哥拉斯悖论：毕达哥拉斯学派的哲学基础是“万物皆数”，而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。但根号2这样的书是无法用两个整数的比表示出来的，因此产生了“无理数”这个概念。

14、认识到与世界最佳实践还存在较大差距

15、但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。

16、在假设推理这几个悖论题时，把后面时间发生的事件(误)当作前面时间发生的事件，是这四个逻辑题成为悖论的原因。

17、为了解决集合论的问题，数学家们目前的选择，是将集合论公理化。

18、一个关于变量的有限聚集，比如x、y、z，应该是一个集合。

19、那么，A是否包括其自身？

20、2000多年以来，人类一直没有弄清楚无穷的概念。比如全体正整数4…和全体正偶数8…，都是无穷多个，那么它们谁更多呢？

四、罗素悖论怎么解决的

1、但当我们考虑A的相反项——“所有‘不’自含集合的集合”(thesetofallsetsthatdonotcontainthemselvesaselements)——悖论就出现了。

2、来源：华夏基石e洞察(ID：chnstonewx)

3、2罗素悖论与集合的关系

4、人类逻辑的bug？

5、数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。

6、大家好我是爱德华，今天我们来讲讲罗素悖论。

7、芝诺悖论。这个悖论提出，若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为快跑者必须首先跑到慢跑者的出发点，而当他到达慢跑者的出发点时，慢跑者又向前跑了一段，又有新的出发点等着他，有无数个这样的出发点。这个悖论直接导致了微积分的出现。

8、元素与集合的关系有“属于∈”和“不属于∉”两种，比如“1”这个元素，它是集合A的元素，但是不是集合B的元素，写作1∈A,1∉B

9、理发师发难了: 他不论怎么做“都自己打自己的耳光” 。

10、黑洞照片是如何拍出来的？

11、现代集合论的诸种公理，非常具体地规定了如何建立“其他集合的集合”(setsofothersets)。

12、罗素后来曾提出类型理对自己的罗素悖论做出解答：一个谓词只示完阶劳有用来表述较低级对象愿黑才是有效的，而当表述自身和高级对象时则会产生悖论和无意义的表360问答述。但是类型理论中未经证明的设定太多，所以很少有人使用。在今天看来，悖论是逻辑中回避脸财胶胶说利反不了的一个问题，其致法书持配茶副而且令人惊讶的普遍，所以很难对待。对这种尖端问题要求易懂的解答是不可能的。

13、发明“集合论”(settheory)的人同样如此，他们从一个相当模糊的“集合”概念出发，而这种模糊导致了一些严重问题。

14、如果是上帝想阻止“恶”而阻止不了，那么上帝就是无能的；

15、让我们首先考虑，“所有自含集合的集合”(thesetofallsetsthatcontainthemselvesaselements)，称之为“A”。

16、约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。

17、尤其，这些公理立即禁止“一个集合成为其自身的一个成员”(即，自含集合)。

18、在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”

19、罗素悖论:集合可分为“不以自己为元素的集合”和“以自己为元素的集合”两类。

20、(1)“不是自然数的所有东西的集合”(注：这个巨大的集合包括“披萨”、“加利福尼亚州”，同时，也包括其自身，因为此集合当然也不是自然数)；

五、罗素悖论的例子

1、 “理发师悖论” 是“罗素悖论” 的通俗说法。说的是在很早以前的一个村庄里, 只有一个理发师, 他规定只替而且一定替不给自己理发的人理发。

2、有一天一名顾客来到店里看到了这块牌子，他就问理发师：“你给自己刮胡子吗？”

3、建立现代管理体系是一项长期的、艰巨的任务

4、那么问题来了：你如何担保你自己不是在这种困境之中？

5、这是一个著名的悖论，称为“罗素悖论”。这是由英国哲学家罗素提出来的，他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。

6、未刮脸转换为已刮脸的标准可以人为定义，例如，定义只刮下一根胡须为已刮脸(或刮下最后一根胡须为刮过脸或……)。推理，如果他没有给自己刮过一根胡须，那么，他属于“自己不刮脸”的那一类村民，按规定，他必须给自己刮脸。在他只刮下自己一根胡须“后”，他才属于“自己刮脸”的那一类村民(在他只刮下自己一根胡须“前”不属于)，按规定从此后理发师再不能刮自己的任何一根胡须了。理发师从未刮脸转换到已刮脸的过程中没有违反店规，理发师的店规可以执行。

7、阿基里斯能追上乌龟吗？

8、在上述推理中没有按刮脸进程的时间顺序分析理发师的身份及应做的行为。当推理到“如果他给自己刮脸”，此时理发师并没有为自己刮脸，因为如果这时理发师已经为自己刮了脸，理发师就不能再思考之后的“如果他不给自己刮脸”了，但推理推出理发师在没有为自己刮脸的时间段必须做的行为之一是“绝不应给自己刮脸”，这是把理发师刮过脸后应做的行为提前了。如果按刮脸进程的时间顺序分析理发师的身份与应做的行为。“理发师悖论”可以不出现。

9、同时，我们对于下述建构也要谨慎得多，比如“不是自然数的‘所有东西’的集合”(thesetofeverythingthatisnotanaturalnumber)。

10、缸中之脑假想：一个人被邪恶科学家施行了手术(这个人可能就是你)，他的脑被从身体上切了下来，放进一个盛有维持脑存活营养液的缸中。脑的神经末梢连接在计算机上，这台计算机按照程序向脑传送信息，以使他保持一切完全正常的幻觉。

11、集合论认为：“所有集合所组成的集合”也是一个集合，故这类集合的特点是：集合本身可以作为自己的一个元素。

12、但是集合的元素必须是确定的。所以有些概念不能构成集合，例如”美女的集合”就是一种错误的说法，因为一个人美不美会因为其他人的感受而异，不具有确定性。

13、罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：s是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。

14、这个难题，很自然地源自我们对“集合”的开放的、朴素的定义。

15、我们称这个集合为“B”。

16、加利福利亚州也不是自然数，所以我们也会把它扔进集合。

17、在另外一些情况中会看到诸如此类的表示：

18、罗素悖论：设命题函数P(x)表示“x∉x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x ∉ x}”。那么现在的问题是：A∈A是否成立？首先，若A∈A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由命题函数P知A∉A；其次，若A∉A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A∈A。

19、所谓的发现观，就是数学理论本来就在那里，就像是客观真理或者上帝旨意，而数学家发现了它。所谓的发明观，就是数学理论本来是没有的，数学家发明了它构造了它甚至可以改变它。

20、在一个村子里有一位理发师，这位理发师声称：“给而且只给那些不给自己理发的人理发”。现在问理发师是否要给自己理发。如果理发师不给自己理发，那么根据定义，他要给自己理发；如果理发师给自己理发，那么根据定义，他不能给自己理发。这就是著名的“理发师悖论”。

1、也许有人会说：那一定是正整数多啊！多了7…这些奇数！但是实际上两个无穷大这样比较是不行的。

2、既然这个集合本身，很显然也不是一个自然数，因为它是一个“不是自然数的‘所有东西’的巨大聚集”，那么，它必然也是它自己这个集合的成员之一(即，它是一个自含集合)。

3、第一次数学危机是什么？

4、现实不是科幻小说，科学发展中出现的任何理论危机都意味着我们认识的不足，也激励着一代又一代的科学家们去探索、发现。因此，我们不必追求完美的理论，相反，真理的丧失、权威的崩塌才是学科发展前所未有的良机。

5、有时候，数学的问题，可以在数学之外得到解决。

6、举个例子，就像一开始根据乘法来定义除法a/b=ciffa=b*c，就会得出0/0=2=3这样的矛盾。怎么解决这里的矛盾呢？难道要取消所有的除法？当然不是了，只需要在矛盾的地方重新定义一下：0不能作除数。瞧，问题就解决了。

7、当前主流的解悖方案是蒯因的方案。蒯因的论证过程：假设村子里有如此一位理发师。如果他要给自己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。

8、(2)如果B不包括其自身，它将满足条件，成为它自己的成员之一；所以，B将必须包括其自身！

9、张三穿越到未来，得知自己将发生不幸；为了避免不幸的发生，张三回到现实做出了避免导致不幸发生的行为；结果就是张三在未来没有发生不幸。

10、除了ZFC公理系统，冯·诺伊曼(vonNeumann)、博内斯(Bernays)和哥德尔(Gödel)提出的NBG公理系统也能解决罗素悖论。

11、但是，从集合论诞生的那一天起，针对集合论的诘难和各种悖论的出现就没有停止过。尤其以1902年罗素悖论最为有名。数学家们只享受了集合论带来的短暂的祥和，就又陷入了一种无法解决的危机之中，这就是第三次数学危机。因为集合论已经成为了现代数学的基础，渗透到数学的各个分支之中，因此集合论的这个悖论才会引发这么多的关注。

12、罗素悖论是：把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，后者可以组成一个集合。可以证明这个集合不能归入上两类。有一个浅显的例子：理发师声称只给“不给自己刮脸的人”刮脸。由此不能断定他是否应该给自己刮脸。这个悖论的关键是它包含了无穷过程，而数学逻辑只承认潜无穷(即无穷是一个无限增长的过程)，因此不适用与这个问题的推理。用反证法不能得到正确的结论。无穷过程在于：理发师要判定是否应该给自己刮脸，要先判定自己是否是“不给自己刮脸的人”；要只要自己是否是“不给自己刮脸的人”，就要先决定是否给自己刮脸。如此往复，除非他能跳过这个无穷的过程，否则他永远无法得到结论。

13、康托尔利用集合论向人类指出：如果两个集合中的元素可以建立一一对应的关系，那么这两个集合的元素个数就是一样多的。比如正整数集合就可以和正偶数集合建立一一对应关系：每个整数的两倍刚好对应一个偶数，即x∈{整数}，y∈{偶数}，y=2x，所以正整数集合和正偶数集合元素个数是一样多的。

14、时间大概是19世纪下半叶吧。十九世纪360问答下半叶，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，在死知或氢业鸡季集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这纸话操核置住能保载任一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔再才杀石与四话周冷集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。

15、这世界充满悖论，像罗素悖论：“理发师的头谁来剃？”本来是困惑哲学家的问题怎么跑到管理界来了？

16、Suhrawardi：抱歉让各位久等！本期“哲园搬运”(不叫“哲园新闻”，我们改叫“哲园搬运”更贴切，搬运国外哲学新闻和哲普文章)先来点烧脑的，以通俗易懂(不含逻辑学符号)的方式，介绍“罗素悖论”。随后会尽快更新“哲园原创”系列！

17、然而好景不长，20世纪初，罗素悖论等一系列集合论悖论的发现，引起了人们对集合论，甚至是数学基础的讨论。正当数学家们不但接受了集合论而且还有大部分经典分析的时候，这些矛盾动摇了它们，使得数学家们对数学的整个基本结构的有效性产生了怀疑。

18、理科少年周彦：围棋4段、会写代码，却说自己像榴莲？老凡尔赛了！

19、以下为我的科普书《十分钟智商运动》中相关内容的文章。

20、因此，我们有理由也会有一个“不是自然数的‘所有东西’的集合”(thesetofeverythingthatisnotanaturalnumber)。

1、几种反驳的观点认为：

2、那么，具体到罗素悖论，如何分析和解决呢？很简单，R是数学家发明构造的，数学家给出的规则对于“R是否属于R”给出了一个矛盾式的规则，相当于没有定义。没有定义起码有三种可能性：缺少定义，重言定义，矛盾定义。

3、“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”

4、所有不以自己为元素的集合组成的集合是“不以自己为元素的集合”还是“以自己为元素的集合”？判断这个问题时出现悖论。

5、即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S即S1={x:x∉x}。

6、“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”

7、悖论通常是指这样一种命题，按普遍认可的逻辑推理方式，可推导出两个对立的结论，形式为：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。

8、罗素悖论：这就是为什么数学不能拥有一个“所有事物”的集合

9、(1)假设B包括其自身作为一个成员。

10、至此，朴素集合论，似乎在别处仍然成立，所以我们似乎OK。

11、科学管理与创新并非是对立的

12、这就引出一个问题: 他该不该给自己理发? 或者问: 他的头发应由谁理? 要是他给自己理发, 那么他就违反了自己的规定; 因为按规定, 他不应该为自己理发。

13、策梅洛(Zermelo)和弗兰克尔(Fraenkel)提出的ZFC公理系统的分类公理宣称：

14、在朴素的集合论中有这样一个假设：对于任何一个性质，满足该性质的所有元素，可以组成一个集合。

15、搬运翻译工：Suhrawardi(剑桥大学神学博士)

16、在《数学原理》中，罗素阐释了一个集合论悖论，由于它只涉及集合论中最基础的东西，易于理解，因而在数学界广泛传播。

17、(换言之，上文提到的同时包括非自然数、披萨和加利福尼亚州的大而不当的集合，应该被构建为诸多下属集合：非自然数集合，披萨集合，美国诸州集合；而这些下属集合，又从属于其他更大的集合，比如数字集合，食物集合，各国州省集合。)

18、首先，若A属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。

19、尽管有这些限制，现代集合论的诸种公理，仍然足够灵活，结合形式逻辑的规则，它们基本上为整个现代数学提供了坚实的基础。

20、“不动的，老师”

1、我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致悖论：

2、罗素悖论，又称理发师悖论。即理发师只为不给自己理发的人理发，那他是否给自己理发？对此人们不能做出一个准确的判断，这促成了集合论的诞生。

3、但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。

4、罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。

5、1902年，英国数学家罗素提出了这样一个理论：以M表示是其自身成员的集合的集合，N表示不是其自身成员的集合的集合。然后问N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。无论出现哪一种情况都将导出矛盾的结论，这就是著名的罗素集合论悖论。

6、我们希望“集合”是极其灵活的事物，它们能够在数学的不同部分中起到不同作用。

7、庄朝晖，关于对角线方法和停机问题的评论，第五届两岸逻辑教学与研究学术会议，重庆西南大学，2012年4月.

8、?={x∣x∉x}⇒(?∈?⟺?∉?)。