一、罗素悖论的通俗版又被称为

1、时至今日，我们已经知道，数学的王国里有无穷无尽的宝藏和果实可供后世的勇士去挖掘和摘取。完美的数学并不存在，人们不必为它的瑕疵而伤心，反而应该为它无限的可能性而欢欣。历史的车轮总能一直向前，数学的未来也一片光明。同时，世界上还有很多永远不能被数学解决的问题，这样的问题甚至比能被数学解决的问题要多得多。世界，在最理性的层面，展示出它迷人而无穷的魅力。人们终将认识到自身的渺小，认识到真理星空的浩瀚，从而永远保持谦卑和谨慎。

2、(2)如果B不包括其自身，它将满足条件，成为它自己的成员之一；所以，B将必须包括其自身！

3、公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。

4、(3)高尔斯等著.普林斯顿数学指南.科学出版社.2014年1月第一版.

5、M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着：告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。

6、数学家GeorgCantor和其他早期集合论者，在如今被我们称为“朴素集合论”(naivesettheory)的框架内工作。

7、时至今日，公理化集合论的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论(后来归入所谓语义悖论)：理查德悖论、培里悖论、格瑞林和纳尔逊悖论。

8、似乎DavidWolpert和WilliamMacready感觉到了这样的需求并且想出了一个解答。他们1997年发表的“没有免费午餐定理”指出的：任何两个优化算法都是等价的，当算法的性能在面向所有可能问题而趋于平均的时候。

9、这个词含义丰富，广义上说，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论，这些结论可能会使我们惊异无比。

10、如果我们问，一个元素的集合可以包括它自己吗？这个答案是肯定的。比如，一个集合由所有含无限多元素的集合组成，那这个集合中肯定包括它自己。

11、比如，自然数集，再比如，所有的未成年人，等等。这个假设看起来很容易使人信服，但这种不受任何限制的建构集合的方式，就出现了问题。

12、我们希望“集合”是极其灵活的事物，它们能够在数学的不同部分中起到不同作用。

13、在朴素集合论里，我们可以用枚举的方式定义一个集合，比如说：集合1={1,2,3}说的是由3三个自然数组成的集合，但是在绝大多数情况下，用枚举的方式来定义集合显然是不现实的，比如说，所有的自然数构成一个自然数集，我们显然不可能把自然数一一枚举出来。所以，朴素的集合论中有一个公理，叫做“无限制概括公理”，说的是：对于任何一个性质，满足该性质的所有元素，构成一个集合。

14、在几何学中，我们希望给定两点之间的所有点的聚集——也就是给定两点之间的线段——成为一个集合。

15、阿基里斯是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。

16、现代集合论的诸种公理，非常具体地规定了如何建立“其他集合的集合”(setsofothersets)。

17、(1)如果A包括其自身，那么很好！A会满足“成为A的一个成员”的条件——包括其自身/自含。

18、1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”：有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

19、“悖论”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。它包括逻辑学、概率论、数论、几何学、统计学和时间等六个方面的数学悖论.悖论有三种主要形式。

20、在朴素的集合论中有这样一个假设：对于任何一个性质，满足该性质的所有元素，可以组成一个集合。

二、罗素悖论百科

1、这道高中数学题，就这样简单明了，把我们引向了一个如下的悖论：阿喀琉斯永远也追不上乌龟，无论他有多快。芝诺的这个悖论让运动听上去不符合逻辑。

2、理发师悖论是数学家罗素在1903年提出的。

3、有一次发大水，淹死了一个富商，尸体被别人打捞起来，富户的家人要求赎回。

4、集合论是颠覆了很多前人的想法，因而很难为人所接受。比如权威克罗内克就曾攻击康托尔的理论长达十年以上，甚至康托尔自己也发现集合论中其实存在着漏洞无法解决，以至于一度精神崩溃，最终在精神病院逝世。

5、☞本科、硕士和博士到底有什么区别？

6、上面这些就是让数学感到尴尬大事件，这里我们说尴尬这个词，是对绝望、混乱的轻量级描述，而实际上这些纷繁问题都是数学家们经历过的内心体验。但无论怎样，每一次撼动数学的问题也都是对科学向前发展的又一级助推。

7、未正式开学的第6天，在家学习。

8、那么，A是否包括其自身？

9、上文，我们已经将平面中的一条线段，考虑为一个集合。

10、这个命题不够通俗易懂，因此罗素编出了道理相同但更为浅显的理发师悖论，为天下所知。

11、悖论(paradox)一词，来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。

12、我们有理由拥护这样一个相当开放的定义。

13、小说往往能浮现出现实的影子，事实上，科学研究一直在不断地经历各种理论危机。人类科学史的发展，就是基础理论一次次崩塌、再重建的过程。

14、刚刚你终于编好了程序，此时正准备运行。

15、一个小难题就出现了，因为两个答案都可以。

16、☞影响计算机算法世界的十位大师

17、作者因此提出了与之相关的另一个问题：“数学是否独立于人类的思维而存在？”或通俗地说，数学是独立于人类心智的存在进而被发现，还是人脑的发明或创造？从古至今的哲学家、数学家、物理学家、认知学家和哲学家们因此分成了“发现派”和“发明派”两大阵营，每一方的论点都会被对方举出无穷多的反例，争论至今，互不相让。两位当代数学大神——法国数学家阿兰•孔涅(1982年菲尔兹奖和2001年克拉福德奖得主)及英国数学家迈克尔•阿蒂亚爵士(1966年菲尔兹奖和2004年阿贝尔奖得主)，可以称为两派人物的代表。

18、M：很多年以前，一台设计用于检验语句正误的计算机中馈入了说谎者逆论。语句：“这句话是错的”。

19、这个悖论与之前的几个不太一样，它其实代表着一大类数学悖论，其中最有名的就是理发师悖论。

20、当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/乌龟仍然前于他1米……

三、罗素悖论有什么意义

1、让我们首先考虑，“所有自含集合的集合”(thesetofallsetsthatcontainthemselvesaselements)，称之为“A”。

2、先来看《吕氏春秋》中记载的一个故事：春秋末年，有一个著名的讼师(类似于现在的律师)叫邓析。

3、这些曾充满质疑的伟大时刻帮助了人们能够更睿智地繁衍生息与发展。

4、这个难题，很自然地源自我们对“集合”的开放的、朴素的定义。

5、2020年2月22日22:

6、☞自然底数e的意义是什么？

7、如果你认为自己很感兴趣优化，你不觉得这会让你成为一个完美主义者么？而完美主义者不正是追寻最优途径去优化事物么？

8、如果集合A不是自己的元素，那么集合A就满足“不包括自己的集合”的定义，应该是此集合的元素之矛盾。

9、许多卓越的数学家深为这新的理论所起的作用而感动，希尔伯特(Hilbert)称“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中开除出去”。

10、邓析的回答是：“不要着急，他不从你这里买，还能从谁那里买？”

11、然而捞到尸体的人要价太高，富户的家人不愿接受，于是他们就找邓析出主意。

12、诸如罗素悖论和芝诺悖论，它们的提出并非恶意，是由于实际上确实存在的问题需要解决和解释。

13、1917年，希尔伯特提出来一整套数学纲领。他希望找到一套公理体系能够排除悖论，并且能够证明，在任一个无矛盾的形式系统中所能表达的所有陈述都要么能够证明要么能够证伪。在这个系统里不会再出现类似罗素悖论这样的思维怪圈。

14、策梅洛(Zermelo)、弗伦克尔(Fraenkel)、冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出了一系列公理对集合的构造加以限制，从而排除了罗素悖论中集合的存在。

15、从17世纪末莱布尼兹开始，到19世纪中后期经过德摩根、布尔、弗雷格等人的发展，逻辑代数日臻成熟。康托尔认为：“数学的本质完全在于它的自由。”他和戴德金建立的朴素集合论，与逻辑代数可视为硬币的正反两面，为数学的统一提供了一线希望。到19世纪末，数学的目标从研究自然的真理转变为构建公理体系，以及探索公理在逻辑上所有可能的结论，从而将数学和逻辑这两个完全独立的领域紧密联系在一起。20世纪初，以弗雷格和罗素为代表的逻辑主义、以希尔伯特为代表的形式主义、以布劳威尔为代表的直觉主义三大学派之间发生了激辩，从而引发了史上第三次数学危机。

16、两个概念的内涵不一致，推出来的结论自然是荒谬的。

17、M：一天，有个旅游者回答——旅游者：我来这里是要被绞死。M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。

18、有一位理发师，他宣称只给所有不给自己理发的人理发。

19、——布特鲁(PierreBoutroux)

20、鳄鱼喃喃自语：“如果我吃掉你的孩子，那就说明你答对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃你的孩子，那就说明你答错了，我就应该吃掉孩子。”

四、罗素悖论的简单解释

1、尽管如此，我们不要简单地认为悖论就一定是错误，它的存在就是和科学唱反调。

2、当时的情况是，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，这一成果也为数学界接受，并且获得了广泛而高度的赞誉。

3、“发现派”被称为“柏拉图主义者”，他们认为数学产生于某种神秘的思想领域或上帝灵感的客观存在，最早可溯源到以“万物皆数”为座右铭的毕达哥拉斯和“西方三圣贤”之一柏拉图等古希腊先哲。毕达哥拉斯学派是纯数学的奠基人，他们早就惊叹于数学塑造及支配宇宙的能力，同时意识到数学的存在貌似无法被人类改变。作者这样写道：“毕达哥拉斯学派将宇宙真正地嵌入到数学中。实际上，对于毕达哥拉斯学派来说，上帝不是一位数学家，数学就是上帝！”古希腊宗教的神学基础是多神信仰，因此这里的“上帝”并不是后来基督教中的那一个。

4、罗素悖论的一个更为通俗的例子叫作“理发师悖论”，如下：有一个小城，它有这样一个规矩：凡是不给自己刮脸的人都要去找理发师刮脸。很尴尬的问题便是，那么谁来给理发师刮脸？

5、尽管集合论中存在矛盾，但这些矛盾大部分均可回避。然而哥德尔不完备定理则表明：数学的真理性不是绝对可证的，如果我们要证明数学理论的相容性或完备性，必须要依靠该数学理论以外的论据，也就是说我们需要更大的系统来说明理论本身是真的。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，数学的确定性却在一步一步地丧失。第三次数学危机则伴随着这种不确定性，以更深刻的形式延续至今。

6、老师告诉学生说：“如果我胜诉，法官会判你付学费；如果我败诉，那么根据约定，你还是要付我学费。总之这个钱你是一定要付。”

7、这从根本上来讲并不是语言或语法问题，而是一种逻辑错误。

8、如果你相信世界是可以理解的

9、同学们有更多兴趣的可以留言提问

10、搬运翻译工：Suhrawardi(剑桥大学神学博士)

11、本书中选择的数学家故事，在某种程度上反映了作者的天体物理学家背景和个人偏好，例如他没有提到17和18世纪有关微积分定义中无穷小量的第二次数学危机。而正是这场危机最终完善了微积分定义以及与实数相关的理论系统，促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化及几何非欧化的进程。当然如同作者所言：本书“无意成为一本全面的数学史”，而且“没有一本书能给予那些在帮助人类认识宇宙、理解规律方面做出突出贡献的科学家和数学家完全公正、客观的评价。

12、为了解决集合论的问题，数学家们目前的选择，是将集合论公理化。

13、经过两千多年的发展，数学已经构建出一座无比富丽堂皇的宏伟大厦。集合论，却始终是这座大厦最底层的根基。如果集合论出现了裂痕，整个数学大厦都可能摇摇欲坠。令人唏嘘的是，第三次数学危机就发生在数学的基石之上。一个关于集合的悖论很快以摧枯拉朽之势席卷了数学界，不仅让集合论风雨飘摇，更是差点将现代数学毁于一旦。

14、“理发师悖论”是很容易解决的，解决的办法之一就是修正理发师的规矩，将他自己排除在规矩之外；可是严格的罗素悖论就不是这么容易解决的了。

15、saixiansheng@zhishifenzi.com

16、(1)“不是自然数的所有东西的集合”(注：这个巨大的集合包括“披萨”、“加利福尼亚州”，同时，也包括其自身，因为此集合当然也不是自然数)；

17、一些以经验为基础的发现促进了概念的形成，但概念本身无疑也刺激了更多定理的发现。有关这一问题的讨论揭露了数学的一个有趣特征：数学是人类文明的重要组成部分，许多发现和一些意义重大的发明大概都源于数学的文化复杂性。而数学的另一特点——永久正确性，则赋予数学本身无限的生命力。

18、另一个有趣的悖论是，传说有个古希腊人爱瓦梯尔向当时的辩论大师普洛太哥拉斯学习辩术。

19、逻辑学家赫兹贝格说：悖论之所以具有重大意义，是由于它能够使我们看到对于某些根本概念的理解存在多大局限性，事实证明，它是产生逻辑和语言中新概念的重要源泉。

20、没想到学生说：“如果我胜诉，法官会判我不付学费；如果我败诉，那么按照约定，我仍然不必付学费。总之这个钱我是肯定不付。”

五、罗素悖论的通俗版又被称为( )

1、M：或者涂写一个告示：不准涂写！

2、当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/乌龟仍然前于他10米；

3、那么，智慧空间本周的题目也是一道与集合有关的题目，同学们一起来看看吧：

4、主要作品有《西方哲学史》《哲学问题》

5、现在回到最初的问题：“上帝是数学家吗？”近代科学家的宗教信仰不尽相同，心目中的“上帝”也不一样，但都不再是宗教神学中人格化的“神”。喊出“我思，故我在”的笛卡尔一直试图在宗教与科学之间寻找一种妥协，他的上帝是所有真理的最终源头、人类推理可靠性的唯一保证，也是数学世界和物理世界的创造者。牛顿眼中的上帝首先是一位数学家，他在《原理》一书中这样表述自己的思考：“太阳、行星和彗星构成的这种最美丽的系统，只能产生于某种智慧、强大的存在，并受其支配。”

6、这是古希腊的一个故事：一条鳄鱼从一位母亲的手中夺走了孩子，母亲苦苦哀求说：求求你放过我的孩子，你提什么要求我都答应。

7、罗素悖论：设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x ∉ x}”。那么问题是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，则不符合x∉S，则S不包含于S；其次，若S不包含于S，则符合x∉S，S包含于S。罗素悖论还有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。

8、这就有点悖论的意思：同一个事实，却推出了不同的结论；每一个结论听起来都合乎逻辑，但合在一起却是荒谬的结果。

9、鳄鱼对母亲说：“你说我会不会吃掉你的孩子？答对了，孩子还给你；答错了，我就吃了他。”

10、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了 。就在这时 ，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。

11、那时候的1还属于质数，所以可以这么描述。而现在，1不归于质数之列。所以原来哥德巴赫的猜想(弱哥德巴赫猜想)变为“任何不小于7的奇数，都可以写成三个质数之和”。弱哥德巴赫已经在2013年被秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特彻底证明。

12、还有一类悖论抓住了人们认知的漏洞。

13、无理数的发现把古希腊人领向了新的一个发现，它更为震慑人心，那就是：无穷！因为无理数的特征就是具有无穷数量的十进制数位，于是古希腊人当时必须构思出一个合理的解释来说明怎样创造无穷数量的数。即使是在现如今无穷的概念都很难去理解，更不用说在当时那个宗教与科学紧密相连的时代，而且数学里的信仰不能挑战对上帝的认知。

14、根据我们的直觉，“集合”应该是“事物的聚集”(acollectionofthings)，而朴素集合论，基本上就把这一直觉，当作了“集合”的定义。

15、微积分入门科普读物，书中以微积分的“思考方法”为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。本书讲解循序渐进、生动亲切，没有烦琐计算、干涩理论，是一本只需“轻松阅读”便可以理解微积分原理的入门书。

16、因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。

17、伯特兰·阿瑟·威廉·罗素，来源：知乎

18、英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，分析哲学的主要创始人。

19、(2)“所有集合的集合”(注：此集合自身也是一个集合，所以它包括其自身)。

20、一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。

1、你挠了挠头，以为是打代码打出幻觉，便没在意。

2、比如芝诺悖论引发了人们对于“无穷”和“无穷小”的思考，从而孕育出了后世的微积分科学；而罗素悖论的消除也使得集合论更加健全。

3、事实上，基于对“集合”的朴素定义，我们自然会考虑一个“所有事物的集合”(asetofeverything)，或者一个“所有集合的集合”(asetofallsets)。(二者都是自含集合。)

4、 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子？

5、19世纪中期，格拉斯曼创立了任意维空间的几何学，其主要思想构成了近代一个重要的数学分支——线性代数。在他看来，数学更是人类思维的抽象创造，不一定对现实世界有任何应用，因此数学不再局限于描述三维可观察的世界。另一方面，脱离物理现实使得某些数学家重新回到柏拉图“数学是独立的真理世界”的思想，这个真理世界的存在和物理世界的存在一样真实，非欧几何以及后续发展使得数学家们开始专注于数学基础的研究。

6、比如，数学的发展就曾面临过几次极其严峻的考验。距离目前最近的一次，就是20世纪罗素悖论对康托尔集合论的冲击(也称第三次数学危机)。

7、第二次数学危机因为康托的工作而终于尘埃落定。自康托起，集合论成为数学里最基础和重要的理论分支之一。

8、但是从整体上来看，康托尔的工作解决了很多长久未解决的问题，在分析学、拓扑学中起到了重要作用，并且集合论渗透到越来越多的数学领域，成为数学基础理论不可分割的一部分。

9、孔子遇到两个小孩在争论，一个说：“早上太阳距离我们近，中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮，中午小得像盘子。这不正是近大远小导致的吗？”

10、一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了(似是而非的理论)。

11、艾伦·图灵曾尝试解决“决策问题”。该问题用简单的话描述就是：致力于找到一个算法它能够回答一个命题是真是假。为了解决这个概念上看似简单实际却难以处理的问题，图灵把它重新阐述为：是否能判断任意一个程序是否能在有限的时间之内结束运行。

12、文章开头的理发师悖论实际上就是罗素悖论的通俗版本：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。同理还有书目悖论：一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师悖论基本一致。

13、除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的"collection"都能被称为类，凡是集合也能被称为类，但是某些collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

14、这使得朴素集合论自相矛盾(inconsistent)：我们有一个陈述，它必须同时既是真的，又是假的。

15、(2)中文维基百科.https://zh.wikipedia.org.2020年2月21日.

16、比如《列子》里有“两小儿辩日”的记载：

17、事实上，这个问题就是停机问题，通俗点说，就是判断任意一个程序有否在有限时间内结束运行。1936年，英国数学家艾伦·图灵在用对角论证法证明了不存在解决停机问题的通用算法。