一、罗素悖论引发了数学的第三次危机

1、他仍然没放弃政治，在巴特尔塞市政厅为全英非宗教人士协会南伦敦分会演讲《我为什么不是基督徒？》。

2、1903年，罗素31岁，写出《数学原理》初稿，书中提出著名的“罗素悖论”，引发数学界震荡。并以论文《几何基础》获剑桥大学三一学院研究员职位。这一年，罗素还写成了《自由人的崇拜》。

3、无理数作为无限不循环小数，超出人们对整数比的直观感受，进而暴露数学理论中存在的问题：离散的数量概念的片面性.而芝诺悖论更为全面地揭示了：离散和连续都必然导致矛盾，其中，二分法悖论和阿基里斯悖论揭示了连续的片面性，飞矢不动悖论和运动场悖论揭示了离散的片面性.

4、1894年，罗素22岁，即大参加伦理荣誉学位考试，说明他从没有放弃哲学。这一年，完成论文《论几何学的基础》，是数学与哲学的结合体。

5、不过，这样一来，考虑的函数范围就变窄了，同时也导致了不用极限概念就无法讨论无穷级数的收敛问题。

6、罗素悖论非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，在他的书即将出版时，整个理论大厦全然崩塌。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”

7、上述四条分开来看，并未建立矛盾等价式，只能算作归谬法推理.但，上述四条综合在一起看，即可得出这样的矛盾等价式：时空无限可分，当且仅当，时空有最小不可分单位从"运动存在"这一公认正确的背景知识出发，经过严密无误的推导，可以建立一个矛盾等价式.这恰好符合我们上面所说的逻辑悖论三要素这样，芝诺悖论整体才构成一个真正意义上的悖论.

8、憨哥在《数学历史事件》这样记载“1903年，英国罗素，发现集合论中的罗素悖论，引发第三次数学危机。”。罗素悖论最早提出是1903年，他提出“对于任意一个集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A∉A。根据康托尔集合论的概括原则，可将所有不是自身元素的集合构成一个集合S即S1={x:x∉x}。”。

9、不过，在当时情况下，由于实数的严格理论并未建立，所以柯西的极限理论还不可能完善。

10、这是哪个名人说的？英国人罗素！那个在诺贝尔奖历史上，获诺贝尔文学奖的数学家罗素。这成为诺贝尔奖历史上的唯空前绝后。

11、作为文学家，罗素一生都在写作，并身体力行留下大量的作品，获得了诺贝尔文学奖。80岁后开始创作写小说、散文。

12、 第三次数学危机：康托的一般集合理论的边缘发现悖论。 补充： 专业术语 表达：

13、第一次危机，关于希帕苏斯和毕达哥拉斯。

14、过了两百年，希腊数学家欧多克斯和阿契塔斯两人给出了“两个数的比相等”的新定义，建立起一套完整的比例论，其中巧妙避开了无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住与之相关的一些结论，缓解了这次数学危机。

15、通过这样的逻辑推理与概念分析，居然可以证明或者否证一个经验问题。

16、除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出的NBG系统等。在该公理系统中，所有包含集合的"collection"都能被称为类，凡是集合也能被称为类，但是某些collection太大了(比如一个collection包含所有集合)以至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。

17、中国古代数学的历史

18、牛顿—最伟大的数学成就是发明了微积分

19、此时，理发师无比纠结：到底该不该给自己刮胡子？

20、泰勒斯—米利都学派(也称爱奥尼亚学派)的创始人。被誉为“科学和哲学之祖”“希腊七贤之首”。在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想，标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。

二、罗素悖论引发了数学的第三次危机判断

1、但当时科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基本建成。还有例如，德国物理学家基尔霍夫就曾经说过：“物理学将无所作为了，至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个数字罢了。”法国大数学家彭迦莱在1900年的国际数学家大会上也公开宣称，数学的严格性，现在看来可以说是实现了。

2、集合论是颠覆了很多前人的想法，因而很难为人所接受。比如权威克罗内克就曾攻击康托尔的理论长达十年以上，甚至康托尔自己也发现集合论中其实存在着漏洞无法解决，以至于一度精神崩溃，最终在精神病院逝世。

3、1874年，罗素2岁，母亲去世。

4、预言一：末来200年将表明，中国人何去何从，将是影响整个世界发展的一个决定因素。

5、有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热忱欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，那么问题出现了，他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。

6、1961年，罗素89岁，参与一个核裁军的游行后被拘禁了7天。他反对越南战争，于1967年5月和萨特一起成立了一个被称为“罗素法庭”的民间法庭，以揭露美国的战争罪行。罗素骨子里流的是不安分的血！89岁上街游行被拘禁7天，折腾后又活了10年，老头子命真硬！

7、幸运的是，柯西站了出来，并用极限的方法对无穷小量进行了定义，这才使得微积分理论得以完善，从而继续发展下去。

8、 第二次数学危机 ： 无穷小量 是否存在。

9、 第一次数学危机：不可通约性的发现。

10、和平斗士、思考总结

11、数学的抽象性表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象。它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性，因而具有十分抽象的形式。它表现为较高的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须要以具体为基础。抽象性可归纳为以下三点：

12、萨维尔村理发师推出一块招牌：“理发师只给所有不给自己理发的人理发。”

13、突破口也许最先出现在称之为应用逻辑的带社会科学性质的学科中。悖论一般分逻辑悖论和语义悖论两大类，最古老的说谎者悖论就是一个语义悖论，从这一大类悖论出发，又可以把第四次数学危机“转嫁”到更多的学科中去。从自然科学到社会科学直至人文科学，人类会多角度、多层次地看清悖论这个深邃、迷人的思维的黑洞，那时，各种各样千奇百怪的不同悖论将会在本质上呈现出如虫洞一般的共通之处。那时我们也许会觉得，悖论这个纠缠人类千百年的幽灵，不管怎样千变万化，曾经有过面目狰狞，最终复归的本相还是一个善良可爱的精灵。

14、 第二次数学危机：十八世纪关于微积分发生的激烈的争论。

15、推理型知识网络演化的奇点

16、所谓逻辑推理，是自然人由一个或几个已知的判断推导出一个新的判断的思维形式。人类从远古走来，正是靠这种方式，一步一步迭代，构建起庞大的推理型知识体系，支撑起当代人类文明。本文无意深入考察逻辑推理的科学和哲学内涵，而是探讨现有知识点之间的逻辑关系，建立推理型知识的网络动力系统模型，通过分析其动力机制，揭示快速计算和人工智能等新技术作为逻辑推理辅助工具的本质属性。

17、阿里120页PPT诠释国家“智能+”战略

18、历史上的三次数学危机，虽然给人们带来了极大的麻烦，但是危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷，并不断去完善，由此，数学也会得到新的发展，甚至会有革命性的的变革！

19、第希伯斯(Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世纪)发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即根号2)永远无法用最简整数比(不可公度比)来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论。相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，但就因为这一发现而把希伯斯抛入大海。

20、这一年，因受其不可知论观点的影响，罗素未能获得自由d提名为议员候选人。罗素骨子里没有放弃从政当官！写出了《反选举权的焦虑》一文。

三、罗素悖论引发了数学的第三次危机,它的一个

1、第罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗？用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎！”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论！

2、编者按：当前人工智能不可解释性依然成为制约其发展的关键与瓶颈，本文从逻辑推理的角度深入探讨了AI“不可读”的根源，即人们通过计算机和人工智能把一系列逻辑推理压缩在一次逻辑推理里，造成了自然人的“不可读”。同时，在剖析数学领域三次危机的过程中，探讨了构建庞大的逻辑推理网络动力系统对AI的必要性和可行性，进而通过疫情预测事例，提出“从尺规作图到机器证明”的大逻辑解决思想。

3、作为反战斗士，罗素一生有惊无险，二次入狱，一次飞行事故让他越战越强。发表了《罗素——爱因斯坦宣言》，后变成了《维也纳宣言》。

4、发现勾股定理的希腊数学家是()

5、在朴素集合论里，我们可以用枚举的方式定义一个集合，比如说：集合1={1,2,3}说的是由3三个自然数组成的集合，但是在绝大多数情况下，用枚举的方式来定义集合显然是不现实的，比如说，所有的自然数构成一个自然数集，我们显然不可能把自然数一一枚举出来。所以，朴素的集合论中有一个公理，叫做“无限制概括公理”，说的是：对于任何一个性质，满足该性质的所有元素，构成一个集合。

6、1945年，罗素73岁，出版历史专著《西方哲学史》。

7、1872年5月15日，罗素出生于一个贵族庄园。

8、男生对女生连续问两个问题，只能用“是”或者“不是”来回答。

9、古希腊时期“几何作图三大问题”：这是三个作图题，只能使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到19世纪被证实这是不可能的：

10、数学家泽尔伯格是美国罗格斯大学教授。有传言，给他写电子邮件要加上“MathIsFun”，否则他的系统就可能会把邮件当做垃圾邮件过滤掉；他不喜欢开车，喜欢坐火车，因为坐火车可以同时研究数学。当今数学界有个作者艾卡德，他已经独立或同泽尔伯格合作发表了几十篇数学研究论文。泽尔伯格说自己是艾卡德(ShaloshB.Ekhad)的导师，但其实艾卡德是泽尔伯格操作的一台计算机。试问能独立发表数学论文的计算机是逻辑推理的主体吗？除非这篇论文里没有推理的问题。

11、其问题的核心在于：无穷小量是否为零贝克莱所攻击的不仅是语言上欠缺明晰性，而是芝诺早就指出的：新的方法不能满足我们那种不间断的、不可分的、无所谓各个部分的关于连续的直觉观念，因为任何想把这种连续分成各个部分的企图，其结果都将破坏所要分析的真正性质这一问题随着之后“极限为0”这一概念的提出而渐渐解决.

12、而如果他给自己刮胡子呢？他又属于“给自己刮胡子的人”，他就不该给自己刮脸。。。

13、有这样一个人，他患有一种奇怪的色盲症，他会把蓝色看成绿色，把绿色看成蓝色，他自己并不知道他患有色盲，并不知道他和普通人不同，他只是把绿色叫成“蓝色”，把蓝色叫成“绿色”。

14、1937年，罗素65岁，儿子康拉德出生。

15、阿基里斯悖论：此悖论同样以时空的连续性为前提，假设时空无限可分，以每次阿基里斯跑到乌龟的上一个位置的这段路程为一个循环作为一个“芝诺时”来衡量的话，“芝诺时”较正常时间越来越少，而这些越来越少的无穷个时间加起来是有限的，并不是无穷

16、分析学生原有的认知基础

17、欧几里得—被誉为“几何之父”，著作《几何原本》是欧洲数学的基础

18、蒯因认为，这个矛盾表明村里没有这样一位理发师。然而奇怪的是，有没有这样一位理发师，显然是一个经验问题。

19、可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？

20、过程与方法目标，是学生在教师的指导下，如何获取知识和技能的程序和具体做法，是过程中的目标，又叫程序性目标。这种目标强调三个过程：做中学、学中做、反思。

四、罗素悖论引发了数学的第三次危机无结果

1、知识与技能目标是过程与方法目标、情感态度与价值观目标的基础；过程与方法目标是实现知识与技能目标的载体，情感态度与价值观目标对其他目标有重要的促进和优化作用。

2、中学生的认识能力有一个逐步发展的过程，他们抽象思维能力较低，对教材中概念、原理、规律等知识的理解比较困难；形象思维能力强，精力旺盛，但注意力容易分散。通过分析了解不同层次学生的生理心理与学习该内容是否相匹配及可能产生的知识误区，充分预见可能存在的问题，在课堂上有针对性地加以分析，使教学工作具有较强的预见性，针对性和功效性。

3、不是第一次数学危机是毕达哥拉斯悖论,第三次是罗素悖论,这两个是数学家而引发第二次数学危机的是巴克莱悖论巴克莱是一个神父,也是个哲学家,不是数学家不过他也确实有一定的数学素养,否则也提不出这个悖论的

4、于是，来找他刮胡子的人络绎不绝。。。(当然，这些都是不给自己刮胡子的人)

5、预言三：外国人将中国改造为现代国家是一件很困难的事，应该静待中国人自行解决。只有中国人才最了解中国，他们自己会慢慢摸索出解决办法才是长久之计。

6、康托尔：集合理论的创始人

7、1944年，罗素72岁，在纽约的兰德学院讲演，在WEAF电台谈论“与苏联合作”问题。返回英国。

8、随着当时社会生产力的发展，人类在科学实践上认识的提高，17世纪的微积分被牛顿和莱布尼兹共同发现。微积分的问世，让许多疑难问题变得迎刃而解，不过因为牛顿和莱布尼兹所创立的微积分理论并不完善，所以也使得微积分一直被某些人反对与抨击，其中以英国大主教贝克莱为主要代表。

9、无理数的出现引发了第一次数学危机.

10、高度的抽象必然有高度的概括。

11、高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须要以具体为基础。

12、著名的古代几何作图三大难题

13、不过，在不久后，数学家们发现，“一切数学成果可建立在集合论基础上”。

14、2019年全球人工智能发展趋势报

15、1889年，罗素17岁，遇到阿鲁丝·伯尔萨尔·史密斯，并爱上她，受到祖母阻挠。

16、我们先来看一个错误使用反证法的例子。

17、(4)韩锐锋，冯炎，郝自军.芝诺悖论分析及极限解释(A).宁夏师范学院学报(自然科学)

18、许多卓越的数学家深为这新的理论所起的作用而感动，希尔伯特(Hilbert)称“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中开除出去”。

19、对于这次的风波，因为其影响重大，被称作“第一次数学危机”，而第二次数学危机的出现，则是源于微积分工具的使用。

20、重读图灵经典之作，九条反驳意见引人深思

五、罗素悖论引发了数学的第三次危机,它的

1、最初的想法主要基于两个方面的变革：

2、初次婚姻，初入社会

3、清理自相矛盾的结果

4、贝利一克莱因运动的是20世纪第一个数学教育现代化运动

5、考虑S0是否属于S0根据排中律，要么S0，属于自身，要么S0，不属于自身。如果S0属于自身，则S0是异常集合，但S0，是正常集合构成的，从而S0又不属于自身，矛盾。如果S0不属于自身则S0是正常集合，由S0的构造又推出S0属于自身，矛盾。不论哪一种情况，矛盾不可避免，这就是英国著名数学家、逻辑学家和哲学家罗素于1903年提出的轰动一时的“罗素悖论”。

6、勤思勤写，数学哲学

7、1921年，罗素49岁，与阿鲁丝分居10年后离婚，同多拉·布莱克结婚。儿子约翰出生。天命之年，老来得子，罗素当爸爸了。这时的罗素，因为参加反战活动被校方开除，靠出版教育方面的书籍谋生。我们见到的很多心灵鸡汤是这个时期写的。出书和演讲是罗素谋生的主要方式。

8、①任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在至少一个命题：它在这个系统中既不能被证明也不能被证否。

9、1948年，罗素76岁，在去挪威的特隆赫姆作讲演“防止战争”的途中飞机失事，身穿笨重大衣游泳十分钟后得救。写出《人类知识》。在英国广播公司里恩讲座作头几讲，谈《权威与个人》。罗素命大！大难不死，必有后福！

10、现实不是科幻小说，科学发展中出现的任何理论危机都意味着我们认识的不足，也激励着一代又一代的科学家们去探索、发现。因此，我们不必追求完美的理论，相反，真理的丧失、权威的崩塌才是学科发展前所未有的良机。

11、为解决这个悖论引起的危机，出现了三大学派的三种方案。罗素的逻辑主义方案：他认为“数学即逻辑”，提出了类型论避免悖论；布劳维的直觉主义方案：只用构造性证明来避免悖论；希尔伯特的形式主义方案：提出希尔伯特规划，建立“元数学”，用有限步骤的证明来避免悖论。三大学派三种方案大大推进了数理逻辑和数学基础的研究，出现了许多令人赞叹的成果，其中影响最为深远的当属哥德尔不完全性定理。

12、罗素悖论的出现赫然指出康托尔集合论的缺漏之处，建立在康托尔集合论之上的数学大厦轰然崩塌，引发了第三次数学危机.

13、当年危机的根源直到19世纪康托尔集合论问世才最终揭明，康托尔用一种巧妙的对角线证明法证明实数集基数不同于自然数集有理数集的基数，它比后者要大。用实数集的基数他构造了一个最大基数的悖论，就是康托尔悖论。实数集的序数也可构造出一个最大序数的悖论，称为布拉里—福蒂悖论。当然，在古希腊时代和整个漫长的中世纪，人们还看不到这一点。

14、首先是数学本身的变革；

15、最近，京西旅馆迎来了一位理发师(男)，他宣称：“本人理发技艺在小镇上是数一数二的，如今，我来到京西旅馆暂住，为感谢刘老板的热情款待，我将为本旅馆所有不给自己刮胡子的人刮胡子，我也只给这些人刮胡子！”

16、直到1872年，德国数学家对无理数作出了严格的定义，无理数本质被彻底搞清，无理数在数学中合法地位的确立，才真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。

17、那么本周智慧空间的题目就分享到这里，同学们如果还有其他想了解的知识点和题目，请关注平行线智慧空间，

18、1890年，罗素18岁，进剑桥大学三一学院，大一至大三专攻数学。获数学荣誉学位。

19、22岁与阿鲁丝·史密斯结婚。39岁与她分居“冷战”。

20、对于罗素悖论，有一个通俗的故事可以解释，就是“理发师悖论”。

1、毕达哥拉斯的其他门徒知道后，为了维护门派的正统性，把希帕索斯杀害了，并抛入大海之中，看来古人也是解决不了问题时，先解决提出问题的人。

2、数学界有这样非常有趣的悖论——理发师悖论：

3、事实上，悖论的产生往往预示着科学的发展，可以说，悖论是科学发展的产物，是科学发展源泉。

4、村子里有一个理发师托尼，他宣布了这样一条原则:他给所有不给自己理发的人理发，并且，只给村里这样的人理发。

5、数学的严谨性是指数学具有很强的逻辑性和较高的精准性。严谨性是数学学科的基本特点。它要求数学结论的叙述必须精练、准确，而对结论的推理论证和系统安排都要求既严格，又周密。即使是一些最基本、最常用，甚至不能用逻辑方法加以定义的原始概念，数学学科也不满足于直观描述，而要求用公理来加以确定。

6、全部科学中的悖论，联合起来！

7、1896年，罗素24岁，偕夫人访美，到霍普金斯大学和布赖恩大学讲学。这也间接证明英国剑桥大学作为全球顶尖大学的地位，才毕业二年的大学生，就受邀到美国名校讲学了。这一年，他主要作品《德国社会民主》。

8、在公元前580～568年间，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度(根号2)既不是整数，也不能用整数之比来表示。(传送门)

9、推理与概念、判断一样，同语言密切联系在一起，推理的语言形式为表示因果关系的复句或具有因果关系的句群；推理用语言表达出来，一个自然人必须能够在其生命长度时间里审核其正确性，不能太长，这就是前面定义的可读性；这里要求的是一个自然人完整审核推理过程，而不是一群自然人在同一个逻辑层级上分工阅读，然后彼此互相提供证言；逻辑推理是一个迭代的过程，如同建筑工程一样，从泥土，砖头，墙壁，到楼房。承认一个前提推演新的结论，不能把一系列逻辑推理压缩在一次逻辑推理里，这样会造成自然人的“不可读”，两个独立的人能够分工对一次逻辑推理的正确性负责吗？答案显然是否定的，这关系到科学大厦的严密性和可靠性。

10、在数学历史上，有三次大的危机深刻影响着数学的发展，三次数学危机分别是：无理数的发现、微积分的完备性、罗素悖论。

11、不妨设所有不包括自己的集合组成集合A：

12、首先，是关于数学学科的试卷结构汇总分析。

13、芯片的事，清华大学魏少军教授说了大实话

14、罗素作为一个政治家，是不成功的，政治开始对其学术发生影响了，可能对其婚姻家庭都有负面影响，罗素倒霉的日子要来了！这年写作《协议的政策：对基尔伯特·穆瑞教授的答复》，出版《社会重建原则》一书。

15、1933年，罗素61岁，写出《数学的性质》。

16、1876年，罗素4岁，父亲去世。祖母监护。祖母没有让罗素上一般子弟公学，而是让他在家接受保姆和家庭教育的教育。祖母送罗素一本《圣经》，对他非常严厉。祖母特别讲究规矩和清教徒的美德，而且不允许怀疑。

17、作为数学家，罗素留给我们的数学遗产是“罗素悖论”,引发了数学史上的第三次数学危机。他用哲学家的角度写出《数学原理》，将哲学、数学、逻辑学融为一体，成为数学经典。

18、果不然，罗素坐牢了，但对哲学家来说，不一定是坏事。在牢里，罗素的思考更能逼近事物的本质，他在监狱完成《数学哲学导论》一书，为经典名著。

19、罗素一生专注于哲学，专注于数学，专注于文学，专注于和平，专注于自由。每个领域都达到了人类的新高度。

20、作者介绍：杨浩，新东方智慧学堂授课老师，北大学士。全国高中数学联赛一等奖，高中物理竞赛一等奖，获得北京大学自主招生60分降分。

1、到了十九世纪，先后有众多杰出的数学家为微积分学的奠基工作而努力。

2、1923年，罗素51岁，女儿凯特出生。罗素心情应该不错，写出了《工业文明的前景》《原子论ABC》。

3、1942年，罗素70岁，在哥伦比亚广播公司的“增长知识”节目与雅克·巴曾谈“笛卡尔的《方法谈》”，与司各特·布坎南和马克·范·多林谈“斯宾诺莎的《伦理学》”，后又与凯萨琳·安·玻特谈“卡洛尔的《艾丽丝漫游奇境记》”。在美国空中论坛谈“印度如何了？”

4、大难不死，必有后福

5、贝克莱的攻击其实是出自维护神学的目的，但对于牛顿的理论却是致命一击。

6、从微积分的推导中我们可以看到，△x在作为分母时不为零，但是在最后的公式中又等于零，这种矛盾的结果是灾难性的，很长一段时间内数学家都找不到解决办法。直到微积分发明100多年后，法国数学家柯西用极限定义了无穷小量，才彻底解决了这个问题。

7、在这个推理链条之中，隐藏着潜在的前提与潜在的规则。

8、这个论证过程是错误的，因为矛盾并不是来源于理发师存在这个前提。其实，规则对于“理发师要不要给自己理发” 没有定义，只是给出了一个矛盾式。如果认为存在定义，就会产生矛盾。

9、1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”：有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。

10、伯特兰·罗素(Bertrand贵买Russell，1872～1970)，英国数学家、逻辑学家、哲学家。1872年5月18日出生在英格兰蒙茅斯郡特里莱赫，1901年他发现了著名的“罗素悖论”，引发了20世纪初对数学基础的危机。他与怀特海合作，于1913年完成了名著《数学原理》。提出并成为逻辑主义的代表人物。罗素还是一位蜚声国际的哲学家、政论作家和社会活动家。他的文字清新流畅，360问答受到各阶层的广泛欢迎，并于1950年获诺贝尔文学奖。

11、女儿出世，让罗素回到当爸爸的责任，一方面靠写书演讲挣钱养家，另一方面增加了对家庭、婚姻、教育的思考。

12、1965年，罗素93岁，出版《论科学哲学》一书。

13、笔者以为维克托的上述迷失在于用局部代替了整体，忽视了更大范围的因果关系。事实上，快速计算加大了逻辑推理的“容量”，以演绎推理的三段式论证为例，大前提和小前提的语言表述借助计算机的功力可能实现几百G的容量，但从宏观上看，三段式论证的结构并没有改变。

14、几何作图三大难题的历史

15、又誉其矛曰：“吾矛之利，于物无不陷也。”或曰：“以子之矛陷于之盾，何如？”

16、无理数的发现以及芝诺悖论(传送门)引发了第一次数学危机。

17、数学在抽象过程中抛开较多的事物的具体特征，因而具有十分抽象的形式。数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景，如数形结合得出函数单调性和奇偶性性质。

18、浅显易懂的罗素悖论一经问世，便在数学界和逻辑学界引起震动，而因此引发的巨大反响更是造就了这场第三次的数学危机。

19、飞矢不动悖论：飞矢在每个时间都占据着空间的一个位置，换言之，飞矢在“现在”这个时刻是静止不动的.

20、数学家总有一个梦想，试图建立一些基本的公理，然后利用严格的数理逻辑，推导和证明数学的所有定理；康托尔发明集合论后，让数学家们看到了曙光，法国科学家庞加莱认为：我们可以借助结合论，建造起整座数学大厦。

1、但是该学派的一个门徒希帕索斯发现，边长为“1”的正方形，其对角线“√2”无法写成两个整数的商，由此发现了第一个无理数。

2、人工智能的现状与未来

3、比如，数学的发展就曾面临过几次极其严峻的考验。距离目前最近的一次，就是20世纪罗素悖论对康托尔集合论的冲击(也称第三次数学危机)。

4、理发师如果给自己理发，那么他就是给自己理发的人，他就不能给自己理发；反之，如果理发师找人给他理发，那他就是不给自己理发的人，他应该给自己理发。

5、经过数位杰出数学家对于微积分学基础概念的重建后，第三次数学危机才终于得以解决。

6、(解析)泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引人了命题证明的思想，标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。欧几里得他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被认为是历史上最成功的教科书。阿基米德利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家将这种方法发展为近代的“微积分”。“阿基米德螺线”就是为纪念他研究出螺旋形曲线的性质而命名的。另外他在《恒河沙数》一书中，介绍了一套记大数的方法，简化了记数的方式。

7、(考点)数学的基本特点

8、在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击，指出求x²的导数时，会出现如下矛盾：